Definition von Zahlen (+ Rechengesetze)

Die Natürlichen Zahlen ($\mathbb{N}$) können auf mehrere Arten definiert werden:

Mit Mengen

Wenn mit Mengen gearbeitet wird, kann die Zahl 0 als die Menge von nichts definiert werden:

$0:=\text{\#}\varnothing$

Das Zeichen # steht hierbei für die Mächtigkeit. Die Zahl 1 wiederum ist folgendermaßen definiert:

$1:=\text{\#}\{\varnothing \}$

Sie kann also als eine Menge beschrieben werden, welche die Menge von nichts beinhaltet. Da eine Menge immer nur unterschiedliche Objekte halten kann (also nicht 2x $\varnothing$) wird die Zahl 2 als eine Menge beschrieben, die die Menge von nichts und die Menge der Menge von Nichts in sich führt:

$2:=\text{\#}\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$

Mit den Peano-Axiomen

Axiome sind Grundsätze oder Theorien einer Wissenschaft oder eines axiomatischen Systems, welche innerhalb des Systems gesetzt werden, da ohne feste Grundannahmen nichts bewiesen werden kann.

Die Peano-Axiome charakterisieren die natürlichen Zahlen und ihre Eigenschaften. Sie nehmen an, dass 0 die kleinste natürliche Zahl ist. Die Axiome haben folgende Form:

$0\in \mathbb{N}$

→ 0 ist eine natürliche Zahl

$\forall n(n\in \mathbb{N}\Rightarrow n^{\prime }\in \mathbb{N})$

→ Jede natürliche Zahl $n$ hat eine natürliche Zahl $n^{\prime }$ als Nachfolger.

$\forall n(n\in \mathbb{N}\Rightarrow n^{\prime }\ne 0)$

→ 0 Ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl

$\forall n,m(m,n\in \mathbb{N}\Rightarrow (m^{\prime }=n^{\prime }\Rightarrow m=n)$

→ Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.

$\forall X(0\in X\wedge \forall n(n\in \mathbb{N}\Rightarrow (n\in X\Rightarrow n^{\prime }\in X))\Rightarrow \mathbb{N}\subseteq X)$

→ Enthält die Menge $X$ die 0 und mit jeder natürlichen Zahl $n$ auch deren Nachfolger $n^{\prime }$, so bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von $X$.

Syntax

Die Symbole-Seite enthält eine Übersicht aller hier genutzten Symbole.

Bedeutet:

$$1=1^2$$ $$1+3=4=2^2$$ $$1+3+5=9=3^2$$ $$\text{etc.}$$

Die herausgehende Gleichung lautet:

$$\sum _{n=1}^{n}2n-1=n^2$$

Man kann sie sich auch folgendermaßen als Code vorstellen (hier in TypeScript):

var s = 0;
var n = 1;
 
while (n < 5) {
  s = s + (2 * n - 1);
  console.log(`2 * ${n} - 1 = ${s}`);
  n += 1;
}

Folgendes würde in der Konsole ausgegeben werden:

2 * 1 - 1 = 1
2 * 2 - 1 = 4
2 * 3 - 1 = 9
2 * 4 - 1 = 16

Vollständige Induktion

Dank der Peano-Axiome können die natürlichen Zahlen mithilfe der vollständigen Induktion bewiesen werden:

Induktionsanfang

Behauptung ist für $n=1$ wahr:

$$1=2\ast 1-1=\sum _{n=1}^{n}2n-1\stackrel{?}{=}{1}^2$$

Induktionsannahme

Behauptung sei wahr für igendein bestimmtes $n\in \mathbb{N}$

Induktionsherschluss

Wir müssen Beweisen, dass die Behauptung für $n+1$ gilt unter der Annahme, dass sie für $n$ gilt:

$$\sum _{n=1}^{n+1}2n-1\stackrel{?}{=}(n+1{)}^2$$

Gleichung für $n$ benutzen:

$$\sum _{n=1}^{n}2n-1+2\ast (n+1)-1\stackrel{?}{=}{n}^2+2n+1$$

Hierbei sind laut unserer Annahme ${\sum }_{n=1}^{n}2n-1$ und $n^2$ gleich, man kürzt also:

$$2\ast (n+1)-1\stackrel{?}{=}2n+1$$ $$2n+2-1\stackrel{?}{=}2n+1$$ $$2n+1=2n+1$$

Rechengesetze

Kommutativgesetz

$a+b=b+a$

$a\ast b=b\ast a$

Assoziativgesetz

$a+(b+c)=c+(b+a)=a+b+c$

$a\ast (b\ast c)=c\ast (b\ast a)=a\ast b\ast c$

Distributivgesetz

$a\ast b+a\ast c=a\ast (b+c)$

Binomische Formeln

1. Binomische Formel

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

2. Binomische Formel

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

3. Binomische Formel

$(a+b)\ast (a-b)=a^2-b^2$